이곳은 개발을 위한 베타 사이트 입니다.기여내역은 언제든 초기화될 수 있으며, 예기치 못한 오류가 발생할 수 있습니다.문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 포물선 운동 (문단 편집) == 공기 저항을 고려한 분석 == 이제 현실과 가장 유사하도록 공기 저항을 고려하자.[* 저항력이 속도에 비례하는 꼴의 식은 물체가 상당히 작을 때 적용되는 식이고, 야구공처럼 표면적 및 질량이 큰 물체라면 저항력이 속도의 제곱에 비례하는 식을 사용해야 한다. 2차원 포물선 운동 상황이라면 해괴한 미분방정식 형태가 되어 '''해석적으로 해를 구할 수 없다.'''] 우선 이러한 공기 저항이 물체의 운동량에 비례한다고 하자. 즉, 마찰력을 [math(-mk \mathbf{v})]로 놓는다. 여기서 [math(k)]는 공기 저항 계수가 될 것이다. 이때, 속도는 각 축의 성분으로 분해할 수 있고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{v}=\dot{x} \mathbf{\hat{x}}+ \dot{y} \mathbf{\hat{y}})] }}} 따라서 마찰력 또한 각 축의 성분으로 분해될 수 있다. 다음의 초기 조건을 안다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x(t=0)&=0 \\ y(t=0)&=0 \\ \dot{x}(t=0)&=v_{0}\cos{\theta} &&\equiv V \\ \dot{y}(t=0)&=v_{0}\sin{\theta} &&\equiv W \end{aligned} )] }}} 따라서 각 축에 대한 운동 방정식을 아래와 같이 세울 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} m\ddot{x}&=-mk \dot{x} \\ m\ddot{y}&=-mg-mk \dot{y} \end{aligned} )] }}} 이 미분 방정식을 풂으로써 물체의 위치가 결정된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} x&=\frac{V}{k} ( 1-e^{-kt} ) \\ y&=-\frac{gt}{k}+\frac{kW+g}{k^{2}} ( 1-e^{-kt}) \end{aligned} )] }}} 이 결과에서 눈여겨봐야 하는 것은 모든 축 방향의 운동이 '''가속도 운동'''이라는 것이다. 각 위치를 시간에 대해 이차미분해보라. 이 조건에서 물체가 포물선 운동하는 시간은 [math(t=T\,(T \neq 0))]일 때, [math(y=0)]이 되는 시간이다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{gT}{k}=\frac{kW+g}{k^{2}} ( 1-e^{-kT}) )] }}} 의 방정식을 풀면 된다. 그러나 이 방정식은 해석적인 해를 갖지 않기 때문에 수치계산이나 섭동법을 이용해야 한다. 만약, 수치계산이나 섭동법을 통해 포물선 운동 시간 [math(T)]를 구했다고 하자. 그렇다면, 수평 도달 거리는 [math(R=x(t=T) )]가 되므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle R=\frac{V}{k}( 1-e^{-kT}) )] }}} 으로 구할 수 있다. 아래는 [math(\theta=\pi/4)], [math(v_{0}=200\,\mathrm{m/s})]일 때 여러 [math(k)]에 대해 궤도를 시뮬레이션한 것이다. [[파일:나무_마찰고려_포물선운동_수정.png|width=330&align=center]] [math(k=0)] 즉, 적색 궤도는 공기 저항을 고려하지 않았을 때이며, 공기 저항 계수가 커질수록 수평 도달 거리는 줄어든다. 다음을 참고하자. 조건은 위의 궤도를 구할 때와 같고, 수치계산을 이용하였다. [[파일:나무_마찰고려_포물선운동_수평도달거리.png|width=300px&align=center]] 참고로, [math(k \ll 1)]일 때를 가정하여 이 과정을 섭동으로 풀 수도 있으나 계산이 매우 복잡하다. [[고전역학]] 교재를 참고하는 편이 좋다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기